Hur man löser en tvådimensionell Particle in a Box

tyder Klassisk mekanik att under atomära partiklar såsom elektroner kan spåras , och deras absoluta position och fart kan vara kända . Kvantmekanik är ett ämne som togs fram i början till mitten av 1900-talet . Det har visat att partiklar också kan beskrivas som vågor , och att veta positionen lämnar en osäkerhet i farten . Den " Particle i en låda " är ett vanligt problem i kvantmekanik och involverar finna vågfunktionen av elektroner som är placerade inom en energibrunn . Instruktioner
1

Skriv ner Schrödingers ekvation för två dimensioner . Schrödingerekvationen är en viktig ekvation i kvantmekaniska problem . Det sker i form :

-h ^ 2 /2 m ( d2Psi /dx ^ 2 + d2Psi /dy ^ 2 ) = E Psi
2

Separera variablerna . Vågen - funktionen psi kan skrivas som en produkt av två funktioner :

Psi ( x , y ) = X ( x ) Y ( y ) katalog

Ersätta detta i Schrödingerekvationen leder till två ekvationer , en för x och en för y :

-h ^ 2 /2 m ( D2X /dx ^ 2 ) = Exx

-h ^ 2 /2 m ( D2Y /dx ^ 2 ) = EYY

Dessa differentialfunktionersom har välkända lösningar.
3

Skriv ner lösningarna på de två differentialekvationer . Lösningarna är :

xnx = ROT ( 2 /Lx ) sin ( npix /L ) katalog

YNY = ROT ( 2 /Ly ) sin ( npiy /L ) katalog

Psi (x, y ) = x (x) Y ( y ) katalog

Psi ( x, y) = SQRT ( 2 /Lx ) sin ( npix /L) * SQRT ( 2 /Ly ) sin ( npiy /L ) katalog

Denna ekvation är den allmänna lösningen till den tvådimensionella partikel i en låda. Addera