Klassificering av Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationer beskriver räta linjer eller plana flerdimensionella ytor . Linjära ekvationssystem är uppsättningar av linjära ekvationer . De finns i många akademiska och tekniska discipliner . Linjära ekvationer används i statistiken , teknik , fysik , finans och ekonomi . Ett givet system av linjära ekvationer kan delas in i tre kategorier . I denna artikel kommer följande tvådimensionella system användas som ett exempel :

4x + 5y = 1
4x - 2y = 2 linjära ekvationer nomenklaturen

rang ett linjärt ekvationssystem är antalet linjärt oberoende rader eller kolumner i koefficientmatriseni det systemet . Den koefficientmatrisenär ett rutnät av de nummer som föregår systemvariablerna . I vårt exempel skulle koefficientmatrisenvara

4 5

4 -2

För en rad ( eller kolumn ) att vara linjärt oberoende av en annan rad ( eller kolumn ) , måste det vara fallet att en rad (eller kolumn) inte kan produceras av en linjär kombination av en annan rad (eller kolumn) . Du ska inte kunna multipla alla delar av rad 1 med ett enda nummer för att få rad 2 Du kan se att alla kolumner i vårt exempel koefficientmatrisenär linjärt oberoende eftersom det inte finns någon enda nummer som skulle tillåta oss att föröka 4 för att få 5 och -2 . Du kan också se att raderna i vårt exempel matrisen är linjärt oberoende . Det finns ingen enda nummer som när den multipliceras med 4 producerar 4 , och när den multipliceras med 5 producerar -2 . Detta innebär rangordningen för vårt exempel systemet är 2.

augmented matrisen är en kombination av koefficientmatrisenoch lösningen vektor. I vårt exempel den utökade matrisen skulle vara:

4 5 1

4 -2 2 Review

Eftersom denna matris har två rader , det högsta värdet av rang den utökade matrisen kan möjligen vara är 2 Därför, för detta exempel är rangordningen för den utökade matrisen lika med rangen av matrisen av koefficienter .
Utöka systemet

i vårt exempel ekvationssystem , det finns bara två variabler. Ekvation beskriva linjer i två - dimensionell rymd . Om vi ​​skulle lägga till ytterligare en uppsättning variabler ekvationerna skulle beskriva plan i det tredimensionella rummet . Detta kan utsträckas till flera dimensioner. I stället för att tänka i termer av system med en viss antal variabler , kan vi tänka i termer av ett generellt system med n variabler . Detta gör det möjligt för oss att klassificera de allmänna egenskaperna hos alla ekvationssystem , oavsett hur många variabler i systemet . Addera Ingen lösning

Om rang den koefficientmatriseninte är lika med rangen av den augmented matris , finns det ingen lösning. Det finns ingen unik uppsättning värden som uppfyller de krav som beskrivs i ekvationssystemet . Systemet av ekvationer kan inte lösas . Om systemet inte kan lösas , är systemet sägs vara inkonsekvent .
En unik lösning

Det finns en enda , unik uppsättning lösningar till ekvationssystemet om rangen av koefficientmatrisenär lika med rangen av den utökade matrisen och de är båda lika med antalet kolumner i koefficientmatrisen . Det finns en enda uppsättning värden som uppfyller kraven som beskrivs av ekvationssystemet . Om det finns en unik lösning är systemet sägs vara oberoende .
Ett oändligt antal lösningar

ekvationssystem har oändligt många lösningar om de rang av koefficientmatrisenär lika med rangen av den utökade matrisen och de båda är mindre än antalet rader i koefficientmatrisen . Thiere är en oändligt stor uppsättning värden som uppfyller de krav som beskrivs i ekvationssystemet . Om det finns ett oändligt antal lösningar , är systemet sägs vara beroende av . Addera