Vad är skillnaderna i en skalär Vector

Vector kalkyl har en viktig plats i teknik och fysik på grund av tre särskilda aktörer : ? Gradient , divergens och rotation . Divergensen operatörsåtgärderett vektorfältskälla eller sjunka magnitud vid en given punkt . Även vektorfält binder numeriska värden med riktningsindikatorer, är divergens ett skalärt resultat . Det är ett kvantitativt mått för utåtriktadflödet i ett vektorfältsom kommer från en källa . Avvikelse beräkningar kan visa sig vara konceptuellt knepigt , men de är inte omöjliga att bemästra. Förstå Math

För att förstå skillnaderna matematiska manifestation , först överväga en deriverbar vektorfunktionv ( x , y , z ) där x , y och z är kartesiska koordinater . Vidare, låt v1, v2 och v3 vara komponenterna i v. Divergens av ett vektorfält är skalärprodukten mellan divergensen operatör och vektorfält funktionen . Formeln för divergensen av vektorfält v kan därför definieras som :

div v = ( &delar; v1 /&delar; x ) + ( &delar; v2 /&delar; y ) + ( &delar; v3 /&delar , z ) katalog

Avvikelse kan förstås som den partiella derivatan av varje komponent med avseende på dess kartesiska koordinatplanet . Dot produkter erhållande skalära lösningar. Avvikelsen Operatören ger därför en skalär lösning från ett vektorfält , vilket tyder div v att vara en direction magnitud indikation.
One Major Assumption

Grundtanken bakom divergens gör ett stort antagande , att det i en funktion som kännetecknar ett fysiskt eller geometrisk egendom , värden är oberoende av den speciella val av koordinater . I själva verket är detta fallet. Den utåtriktade flödet antas vara på väg bort från källan med relativ likformighet . Avvikelse kan förstås som en kvalitativ kurs för detta flöde eller flöde . Addera Invarians av Avvikelse

Värden för div v beror på de punkter i rymden och den associerade matematisk funktion . Värdena är invariant med avseende på koordinattransformation . Välja ett annat val för kartesiska koordinater x * , y * och z * och motsvarande komponenter v1 * , v2 * och v3 * för funktions v kommer att leda till samma ekvation . Detta invarians av skillnaderna är fortfarande ett viktigt teorem förknippad med just denna operatör

När det gäller alla andra koordinaterna i vektorfältet och deras motsvarande funktionskomponenter, beräknings divergensen är detsamma: . Avvikelsen är skalärprodukten mellan operatören och vektorfältet , eller den partiella derivatan av varje komponent med avseende på dess kartesiska koordinatplan .
Taken till nästa nivå

Avvikelse spelar en viktig roll inom avancerad kalkyl . Verksamheten ligger bakom en av de "stora" integrerade teorem , som kan användas för att omvandla otroligt komplexa beräkningar till mer rimliga problem . Detta förfarande kallas Avvikelse sats Gauss .

Tänk dig en sluten begränsad region i rymden , som kallas T , med en styckvis slät yta S för dess gräns . Antag n är den yttre enheten normalvektor av ytan S. Låt vektorfunktionenF ( x , y , z ) både vara kontinuerlig och har kontinuerliga första partiella derivator i viss domän som innehåller T. Avvikelse sats Gauss anger trippelintegral av divergensen av F över en volym kan jämställas med den dubbla integralen av skalärprodukten mellan F och n över ett område . Således kan komplexa volym integraler omvandlas till mer hanterbara ytintegraler genom en förståelse och extrapolering av divergensen av ett vektorfält . Addera