Så Härled Gral volym av en Hypersphere

Bara en cirkel är mängden av alla punkter i ett tvådimensionellt plan på samma avstånd från en central punkt och en sfär är mängden av alla punkter i tre dimensioner på samma avstånd från en central punkt , i matematik det finns analoga strukturer , kallade hyperspheres , i dimensionella utrymmen större än tre som är mängden av alla punkter med lika avstånd från en central punkt . Därför , precis som den integrerade volymen av en sfär i tre dimensioner kan härledas med tandsten , så kan de i ett stycke volymer av dessa högre dimensionella figurer. Instruktioner
en

Definiera koordinatsystemet som kommer att användas i problemet. Även om någon koordinatsystemetkan fås att fungera , en variant på sfäriska polära koordinater fungerar bäst . Som ett exempel , i ett n-dimensionellt utrymme, definiera avståndet r till mittpunkten, theta som azimutvinkeln och fi1 , phi2 , ... phi (n- 2 ) i form av kantiga koordinater som sträcker sig från 0 till pi radianer.
2

Skriv ut den grundläggande volymintegralöver hela hypersphere . Detta blir integralen från 0 till viss radie R för r , och över helheten av de möjliga vinklar för varje vinkel koordinat , 0 till 2pi för theta och 0 till pi för de återstående variablerna . De multipelintegraler tas av 1 över volymelement . Addera 3

Byt volymelement med lämpliga villkor beräknade från Jacobis determinant . Till exempel för en hypersphere i fyra dimensioner , kommer det att vara.

R ^ 3 sin ^ 2 ( fi1 ) sin ( phi2 ) dr dphi1 dphi2 dtheta

För mer hjälp computing Jacobian , se motsvarande resurslänk.
4

Skriv ner det slutgiltiga svaret efter att varje integrerad i följd . I vårt exempel på den fyrdimensionella hypersphere det slutgiltiga svaret är : .

( Pi ^ 2/2 ) * radie ^ 4 Addera